1、简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系 V+F-E=2 这个公式叫欧拉公式。
(资料图)
2、公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。
3、 方法1:(利用几何画板) 逐步减少多面体的棱数,分析V+F-E 先以简单的四面体ABCD为例分析证法。
4、 去掉一个面,使它变为平面图形,四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。
5、因此,要研究V、E和F关系,只需去掉一个面变为平面图形,证V+F1-E=1 (1)去掉一条棱,就减少一个面,V+F1-E不变。
6、依次去掉所有的面,变为“树枝形”。
7、 (2)从剩下的树枝形中,每去掉一条棱,就减少一个顶点,V+F1-E不变,直至只剩下一条棱。
8、 以上过程V+F1-E不变,V+F1-E=1,所以加上去掉的一个面,V+F-E =2。
9、 对任意的简单多面体,运用这样的方法,都是只剩下一条线段。
10、因此公式对任意简单多面体都是正确的。
11、 方法2:计算多面体各面内角和 设多面体顶点数V,面数F,棱数E。
12、剪掉一个面,使它变为平面图形(拉开图),求所有面内角总和∑α 一方面,在原图中利用各面求内角总和。
13、 设有F个面,各面的边数为n1,n2,…,nF,各面内角总和为: ∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800] = (n1+n2+…+nF -2F) ·1800 =(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 (1) 另一方面,在拉开图中利用顶点求内角总和。
14、 设剪去的一个面为n边形,其内角和为(n-2)·1800,则所有V个顶点中,有n个顶点在边上,V-n个顶点在中间。
15、中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600,边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。
16、 所以,多面体各面的内角总和: ∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800 =(V-2)·3600. (2) 由(1)(2)得: (E-F) ·3600 =(V-2)·3600 所以 V+F-E=2. (1)分式: a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c (2)复数 由e^iθ=cosθ+isinθ,得到: sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/2i cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2 (3)三角形 设R为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则: d^2=R^2-2Rr (4)多面体 设v为顶点数,e为棱数,f是面数,则 v-e+f=2-2p p为欧拉示性数,例如 p=0 的多面体叫第零类多面体 p=1 的多面体叫第一类多面体 (5) 多边形 设一个二维几何图形的顶点数为V,划分区域数为Ar,一笔画笔数为B,则有: V+Ar-B=1 (如:矩形加上两条对角线所组成的图形,V=5,Ar=4,B=8) (6). 欧拉定理 在同一个三角形中,它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线。
17、 其实欧拉公式是有很多的,上面仅是几个常用的。
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